\chapter{欧拉(1729)对Gamma函数的推导研究}

	\section{Gamma函数定义}
	Gamma函数$\Gamma(z)$定义为：
	\begin{equation}
		\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \quad (\Re(z) > 0)
	\end{equation}
	
	\section{验证步骤}
	
	\subsection{验证$\Gamma(1)=1$}
	\begin{align*}
		\Gamma(1) &= \int_{0}^{\infty} t^{0} e^{-t} dt \\
		&= \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt \\
		&= \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{\infty} \\
		&= 0 - (-1) = 1
	\end{align*}
	
	\subsection{验证递推关系$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$}
	\begin{align*}
		\Gamma(z+1) &= \int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t} dt \\
		&= \left[ -t^{z} e^{-t} \right]_{0}^{\infty} + z \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \\
		&= 0 + z\Gamma(z) \\
		&= z\Gamma(z)
	\end{align*}
	
	\subsection{验证$\Gamma(n)=(n-1)!$（正整数情况）}
	\begin{proof}
		由数学归纳法：
		\begin{itemize}
			\item 基础情况：$\Gamma(1)=1=0!$成立
			\item 归纳假设：假设$\Gamma(k)=(k-1)!$成立
			\item 归纳步骤：
			\begin{align*}
				\Gamma(k+1) &= k\Gamma(k) \quad \text{(递推关系)} \\
				&= k \cdot (k-1)! \\
				&= k!
			\end{align*}
		\end{itemize}
	\end{proof}
	
	\subsection{验证$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$}
	\begin{align*}
		\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt \\
		&= 2\int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du \quad (u=\sqrt{t}) \\
		&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} du \\
		&= \sqrt{\pi}
	\end{align*}
	
	\section{结论}
	通过上述验证过程，我们确认Gamma函数满足以下性质：
	\begin{itemize}
		\item $\Gamma(1)=1$
		\item $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$
		\item 对于正整数$n$，$\Gamma(n)=(n-1)!$
		\item $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$
	\end{itemize}
	
